Физика-демокурс

4.1. Основные понятия об энергии механической системы.

Мы познакомились с понятием импульса тела, являющегося мерой его поступательного движения. Однако эта динамическая характеристика тела не может служить универсальной мерой для всех форм движения. Рассмотрим равномерное прямолинейное движение тела, происходящее с трением. В этом случае сила трения уравновешивается , приложенной к телу, причем Трение,   как  известно,   влечет  за  собой  нагревание,  связанное  спреобразованием механического движения трущихся тел в беспорядочное движение молекул, из которых состоят тела. Однако вектор импульса тела при равномерном прямолинейном движении остается постоянным и никак не характеризует количество выделившейся теплоты. Единой мерой различных форм движения служит физическая величина, называемая энергией. Энергия механической системы количественно характеризует эту систему с точки зрения возможных в ней количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы как между собой, так и с внешними телами. Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое, тело обладает энергией или, как часто говорят, запасом энергии, являющейся мерой его движения. Для количественной характеристики качественно различных форм движения вводятся соответствующие им виды (формы) энергии,- механическая, внутренняя, электромагнитная и др.

4.2. Работа.

Изменение механического движения и энергии тела происходит в процессе силового взаимодействия этого тела с другими телами. Для количественной характеристики этого процесса в механике вводят понятие работы, совершаемой  силой.

Если рассматриваемая сила постоянна,а тело, к которому она приложена, движетсяпоступательно ипрямолинейно, то работой, совершаемой силой при прохождении телом пути , называют величину

(4.1)

где а - угол между силой и направлением движения тела.

Работа - скалярная величина. Если вектор силы и вектор перемещений образуют острый угол т.е. , то , если , то , т.е. сила, действующая перпендикулярно к перемещению тела, работы не совершает.

В   общем случае тело   может двигаться произвольным, достаточно сложным образом (рис.4.2). Выделим элементарный участок пути , на котором силу можно считать постоянной и перемещение прямолинейным. Элементарная работа на этом участке равна

(4.2)

Полная работа на пути определяется интегралом

(4.3)

4.3. Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля.

Силу , действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа , совершаемая этой силой при перемещении этой точки из произвольного положения 1 в другое 2, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло:

Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака консервативной силы, так как величина меняет знак. Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории , например , работа консервативной силы равна нулю.

Примером консервативных сил могут служить силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия заряженных тел. Поле, работа сил которого по перемещению материальной точки вдоль произвольной замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным.

4.4. Мощность.

Величина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью Мощность численно равна отношению к промежутку времени за который она совершается.

или в общем случае

,

Подставляя значение получим

(4.5)

4.5 Кинетическая энергия

Рассмотрим случай, когда материальная точка движется из точки 1 в точку 2 под действием приложенных к ней сил (рис.4.4.)

Причем силы, действующие на материальную точку, могут иметь разную природу, т.е. могут быть консервативными и неконсервативными. Уравнение движения в этом случае запишется в виде

(4.6)

(4.7)

Умножим скалярно уравнение (4.7) на и проинтегрируем от точки1 до точки 2, получим:

(4.8)

Учитываем то, что , и интеграл в правой части выражения (4.8) представляет собой работу всех сил, на участке 1-2, можно записать:

(4.9)

(4.10)

называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия материальной точки – это энергия, которой обладает эта точка вследствие своего движения.

Из полученного выражения (4.9) следует, что работа всех сил, действующих на материальную точку на участке траектории 1-2 равна изменению ее кинетической энергии на этом участке.

4.6.Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная взаимным расположением тел и характером их взаимодействия. При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего совершается работа. Для поднятия тела массой m на высоту необходимо совершить работу против сил тяготения Р:

,

знак минус перед интегралом, т.к. сила Р направлена в сторону противоположную изменению h.

Проинтегрируем это выражение:

Эта энергия пойдет на увеличение энергии замкнутой системы тело-Земля т.е. численно равна

Считая поверхности Земли , получим

Эта энергия системы тело - Земля и является потенциальной энергиейтела, поднятого на высоту h:

(4.11)

4.7. Закон сохранения и превращения энергии.

Рассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту h. При этом его потенциальная энергия

Тело начало свободно падать .  Из кинематики известно, что момент достижения поверхности земли оно будет иметь скорость икинетическую энергию:

Кинетическая энергия тела, упавшего с высоты h, оказалась равной его потенциальной энергии, которую оно имело до начала падения. Следовательно:

На поверхности Земли h=0 и потенциальная энергия , а -максимальна. В начале падения , а т.е. потенциальная энергия переходит (превращается) в кинетическую. Таким образом, при падении тела в системе тело-Земля кинетическая энергия возрастает и, следовательно, ее изменение равное работе , имеет положительный знак, т.е.

(4.12)

Потенциальная энергия - уменьшается, и, следовательно, ее изменение имеет знак минус. Поэтому можем записать:

(4.13)

Сложив (4.12) и (4.13), получим

или

Сумма представляет собой полную энергию, и, следовательно,

, а

(4.14)

Таким образом, энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех, происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Данное положение называют законом сохранения и превращения энергии.

Пример.

Груз массы поднимается лебедкой с ускорением . Найти работу, произведенную в первые 1,5 с. от начала подъема.

Решение.

Высота, на которую поднимется груз за первые t секунд,. Силу натяжения троса лебедки найдем из уравнения движения груза. На груз действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения троса T. Согласно второму закону Ньютона , тогда . Произведенная лебедкой работа равна

4.8. Связь между потенциальной энергией и силой.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем  вдоль  произвольно  выбранного  направления  в  пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет   запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке  . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы  на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

(4.15)