Физика-демокурс

Пример. Скорость поезда между двумя пунктами , средняя скорость на всем пути , причем остановки занимают время Найти расстояние L между этими пунктами.

Решение. Обозначим время в пути буквой t. Из условия задачи следует, что

.

Решая эту систему, найдем

Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени. Если в  выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя  к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.

(1.6)

В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можоразложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.

(1.7)

где - проекции вектора скорости на оси координат х, у, z.

Подставляя в (1.6) значения для радиус-вектора материальной точки (1.1) и выполнив почленное дифференцирование, получим:

(1.8)

Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:

(1.9)

Поэтому численное значение скорости:

(1.10)

Движение, при котором  направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным.

Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным.

В этом случае часто пользуются скалярной величиной , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:

(1.11)

Т.к. только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:

.

Закон сложения скоростей. Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

В соответствии с определением (1.6):

(1.12)

Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).

1.6. Ускорение.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, т.е. изменение величины скорости за единицу времени.

Вектор среднего ускорения. Отношение приращения скорости к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:

Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .

Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:

(1.13)

В проекциях на соответствующие координаты оси:

или

(1.14)

MotionDiagram.swf

1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения.

При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М₁ стала . При этом считаем, что промежуток   времени при переходе точки на пути из М в М₁ настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:

Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы равна стороне АС МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через и . Таким образом вектор изменения скорости равен векторной сумме двух векторов:

По определению:

(1.15)

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно

(1.16)

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R. Треугольники МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

или

Но , тогда:

Переходя к пределу при и учитывая, что при этом , находим:

,

(1.17)

Так как при угол , направление этого ускорения совпадает с направлением нормали к скорости , т.е. вектор ускорения перпендикулярен . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального ускорений (1.15). Так как векторы этих ускорений взаимноперпендикулярны, то модуль полного ускорения равен:

(1.18)

Направление полного ускорения определяется углом между векторам и :

1.8. Методические указания к решению задач по кинематике.

Анализируя полученные формулы, в кинематике можно выделить четыре основных типа задач:

1. Общая прямая задача кинематики:

по известной зависимости радиуса-вектора от времени необходимо определить, векторы скорости и ускорения и их модули v и а, нормальную и тангенциальную составляющую ускорения, радиус кривизны траектории R.

2. Общая обратная задача кинематики:

по известным векторам скорости или ускорения необходимо восстановить вид траектории, т.е. найти радиус-вектор , а затем все остальные параметры траектории, указанные в пункте 1.

3. Частная прямая задача кинематики:

по известной зависимости пути от времени необходимо найти скорость и ускорение тела. В этом случае можно определить лишь модуль скорости и ускорения:

и  .

Векторы , , , а также и в этих задачах не могут бытьопределены.

4. Частная обратная задача кинематики:

по известным зависимостям скорости или ускорения необходимо восстановить зависимость пути от времени :